Objectifs du GDR

Le GDR DYNQUA ''dynamique quantique'' a débuté au 1er janvier 2009 et réunit aujourd'hui une centaine de mathématiciens et physiciens issus de 11 laboratoires de physique et 25 laboratoires de mathématiques, ainsi qu'un grand nombre de doctorants et post-doctorants. La vocation du GDR DYNQUA est de structurer la communauté des chercheurs intéressée par les aspects théoriques et mathématiques de la mécanique quantique, en mettant l'accent sur les problèmes dynamiques, et d'accompagner son évolution scientifique tout en lui donnant une visibilité nationale et internationale. L'animation scientifique du GDR se décline en une rencontre annuelle en hiver, des rencontres thématiques ponctuelles organisées par ses membres sur les thématiques du GDR, ainsi qu'un séminaire mensuel à l'IHP (premier lundi de chaque mois, animé par S. Nonnenmacher, Hakim Boumaza, Mathieu Lewin). Un effort particulier est porté d'une part à l'accompagnement des jeunes chercheurs et étudiants et d'autre part à l'interaction entre équipes et chercheurs en Physique et en Mathématiques.

Pilotage du GDR :

• 2022-2026 : N. Anantharaman, J.-M. Bouclet (global coordinator), B. Douçot, N. Berglund
• 2017-2021 : N. Anantharaman, J.-M. Bouclet, B. Douçot, F. Hérau (global coordinator),
• 2013-2016 : F. Hérau, A. Joye (global coordinator), S. Nonnenmacher
• 2009-2012 : S. De Bièvre (global coordinator), A. Joye, S. Nonnenmacher

Thèmes scientifiques et projets de recherche associés

• Transport quantique/classique
• Mécanique statistique hors équilibre quantique et systèmes ouverts
• Information quantique
• Théorie des champs sur des espaces-temps courbes et relativité mathématique
• Physique atomique et moléculaire
• Dynamique (semi)-classique

Transport quantique et classique

Les propriétés de transport, au sens large, de systèmes physiques revêtent une importance particulière car elles sont souvent intrinsèquement liées aux quantités accessibles expérimentalement (par exemple, les variations de courant électrique en fonction de paramètres du système). Cette problématique intervient en particulier dans la théorie de la réponse linéaire voire dans les systèmes hors équilibre, à travers l'étude des conditions permettant de vérifier les formules de type Kubo et la symétrie d'Onsager des coefficients de transport, de manière abstraite et sur des modèles pertinents.
La notion de transport est également très présente dans la recherche actuelle sur les systèmes désordonnés (magnétiques ou non), qui fait la part belle aux notions de transition localisation-délocalisation dynamique, d'exposants de diffusion ou de courants de bords. Les différents modèles étudiés incluent des opérateurs de Schrödinger ou des opérateurs d'ondes aléatoires (hamiltoniens d'Anderson, de Landau aléatoire, modèles de Chalker--Coddington, opérateurs d'ondes bruités). Si le comportement de certains modèles linéaires commence à être bien compris, l'étude récente de la localisation sur des modèles non-linéaires est beaucoup moins avancée.
Les phénomènes de transport sont également abordés au travers de régimes asymptotiques particuliers, de modèles approchés et d'expériences numériques, dans les cas quantiques et classiques. Par exemple, les propriétés de transport de divers modèles de marches quantiques, déterministes ou aléatoires, unitaires ou décohérentes donnant lieu à des modèles effectifs d'évolution ou jouant un rôle dans la théorie du calcul quantique font l'objet de nombreux travaux.

Mécanique statistique hors équilibre et systèmes ouverts

L'étude des systèmes physiques pour lesquels des états stationnaires hors équilibre apparaissent s'effectue dans plusieurs directions et fait appel à un large spectre de méthodes mathématiques et physiques.
Une première partie concerne les aspects structurels des états stationnaires et les propriétés générales des flux qu'ils engendrent (symétries, grandes déviations, thermodynamique) dans un cadre abstrait nécessitant l'usage de méthodes algébriques sophistiquées
Un second type de recherche consiste en l'étude de modèles de complexité variée (modèles jouets ou modèles concrets) pour lesquels il s'agit de montrer le retour à l'équilibre voire simplement l'existence d'états stationnaires hors équilibre (systèmes à interactions répétées, chaînes de spins, systèmes connectés à plusieurs réservoirs),souvent au moyen de méthodes analytiques fines. Il peut s'agir aussi d'élaborer et étudier des modèles effectifs (par approche Lindbladienne, approximation de Redfield, modèles stochastiques quantiques, processus d'exclusion).
Enfin une dernière partie des travaux concerne les systèmes classiques, typiquement des chaînes d'oscillateurs couplées à des réservoirs figurés par des bruits classiques. Ces systèmes, qui sont étudiés d'un point de vue numérique et analytique, peuvent parfois être vus comme comme des modèles simplifiés de théorie des champs dont le comportement éclaire le cas quantique. Néanmoins même des modèles très simples (3 oscillateurs et 2 réservoirs par exemple) peuvent avoir un comportement complexe pas toujours compris, même dans des régimes semiclassiques (basse température).

Information quantique

L'information quantique est un thème transverse abordé par de nombreux chercheurs du GDR. Nous souhaitons mettre en relief un certain nombre de directions de recherche. Ainsi l'étude des interactions entre marcheurs quantiques et des processus irréversibles provoqués par le couplage avec des réservoirs est intéressante. L'approche probabiliste de l'information quantique, avec notamment l'étude des propriétés d'états formés par des matrices aléatoires et des canaux quantiques aléatoires, a déjà donné de premiers résultats intéressants. Le lien entre information quantique et espaces de Banach reste également à approfondir et est susceptible de donner de nouveaux résultats sur des problèmes ouverts importants. De même la caractérisation géométrique d'un état quantique, la comparaison des mesures géométriques selon la distance choisie sur l'ensemble des états quantiques, le lien avec les diverses notions d'entropies, et le cas des systèmes multi-partites sont des thèmes prometteurs
Le couplage du système avec son environnement conduit le plus souvent à des pertes des corrélations quantiques, et par là même à une disparition des ressources responsables de l'efficacité d'un ordinateur ou d'un processus de communication quantique. Pour étudier ce phénomène, il est utile d'examiner des modèles dynamiques concrets, associés à des systèmes physiques spécifiques tels des chaînes de spin, des marcheurs quantiques, ou bien un gaz d'atomes froids piégés dans deux modes internes distincts (jonctions Josephson bosoniques). L'effet de mesures locales sur un sous-système d'un système composite est un problème également très étudié actuellement, notamment en rapport avec les corrélations quantiques (discorde quantique), et les liens avec la discrimination d'états quantiques restent à approfondir.
L'information quantique en variable continue est enfin un domaine en pleine expansion en physique, notamment à cause d'expériences récentes dans lesquelles des modes du champ électromagnétique sont fortement intriqués. On sait caractériser les corrélations quantiques d'un état gaussien d'un ensemble d'oscillateurs harmoniques, mais pour des états non gaussiens il est nécessaire de développer de nouvelles approches mathématiques.

Théorie des champs sur des espaces-temps courbes et relativité mathématique

La théorie des champs sur des espaces-temps courbes est un sujet extrêmement riche dont l'objet, du point de vue physique, est d'unifier les théories quantiques et relativistes. Rappelons par exemple que ces deux théories se manifestent dans le célèbre effet Hawking selon lequel un trou noir peut émettre des particules quantiques. Mathématiquement, c'est une source de nombreux problèmes, d'autant plus délicats qu'ils font appel à des questions avancées de domaines variés (analyse fonctionnelle, géométrie différentielle, EDP linéaires et non linéaires). Les problèmes étudiés concernent notamment la mathématisation de la théorie des champs, l'étude des espaces-temps eux mêmes (équations d'Einstein), des questions de théorie de la diffusion (décroissance de l'énergie, superradiance),...
Au cours des dernières années, ces sujets ont suscité une grosse activité. Néanmoins le programme de recherche reste très vaste et inclut l'étude des trous noirs (structures géométriques de l'infini spatial, propagation des ondes, effet Hawking), des équations d'Einstein (stabilité des solutions, équations de contraintes) ou du scattering sur des espaces-temps radiatifs.

Matière condensée et problèmes à N corps

Ce point regroupe les activités de recherche autour de la description quantique de la matière et de ses interactions avec des champs classiques au niveau moléculaire dans différents régimes et celles qui s'attachent à étudier les aspects quantiques collectifs que peuvent exhiber les problèmes à N corps associés, tels la condensation de Bose-Einstein.
Outre les aspects stationnaires de la théorie (étude spectrale asymptotique, stabilité de la matière), l'activité en physique moléculaire s'intéresse depuis plusieurs années déjà à des questions liées aux propriétés dynamiques des systèmes considérés. A titre d'exemple, les approximations de Born-Oppenheimer ou de Hartree-Fock, les méthodes de la fonctionnelle densité ou dites "Full CI methods'' sont intensément analysées par plusieurs groupes dans leurs versions dépendantes du temps, ce qui offre à la fois de nouvelles perspectives physiques et d'autres défis mathématiques (transfert de protons, transitions intermodes au sens large, description effective de réactions chimiques, construction de formes normales semiclassiques).
Cette tendance est également vraie en ce qui concerne l'étude des propriétés fines de condensats de Bose-Einstein en rotation ou la dérivation d'équations effectives de type Gross-Pitaevskii dans un contexte dynamique. A ceci viennent s'ajouter l'analyse des propriétés de diffusion de (systèmes de) particules chargées soumises à divers champs électromagnétiques classiques, des résonances qu'ils exhibent et des états métastables associés, au moyen de méthodes dépendantes du temps.
Le rapprochement auquel on assiste depuis quelques années entre différents acteurs de la recherche sur ce thème, allant de la chimie quantique aux mathématiques appliquées en passant par la physique théorique et la physique mathématique, a un effet très stimulant sur cette activité.

Dynamique (semi)classique

L'analyse semiclassique consiste à étudier les liens entre, d'une part, la dynamique classique (newtonienne), d'autre part les solutions d'équations d'ondes linéaires du type "équation de Schrödinger" ou "équation des ondes", dans la limite de petites longueurs d'onde, ou plus généralement la limite semiclassique. L'objectif général (probablement trop ambitieux) serait d'arriver à classifier les systèmes hamiltoniens en ''classes d'universalité'' partageant les mêmes comportements du point de vue classique ainsi que pour les fonctions propres et les valeurs propres de l'opérateur de Schrödinger associé. Deux types extrêmes de systèmes ont été tout particulièrement étudiés.
D'un côté, les systèmes "intégrables" présentent un grand nombre de symétries et une dynamique classique "régulière". Cela devrait se traduire par des propriétés de ''localisation'' des ondes, et par un spectre de l'opérateur de Schrödinger ressemblant statistiquement à un processus de Poisson. Cependant, l'influence de l'intégrabilité sur les hamiltoniens quantiques correspondants ne reste que partiellement comprise, en particulier en présence de singularités. Dans certains cas, la théorie des nombres peut servir à pallier le manque de compréhension de la correspondance classique/quantique. La recherche actuelle s'oriente aussi de plus en plus vers des systèmes intégrables ayant un nombre infini de degrés de liberté.
A l'autre extrémité, les dynamiques "fortement chaotiques" ont été analysées, depuis les années 60, en utilisant des outils probabilistes et de mécanique statistique (formalisme thermodynamique, opérateurs de transfert de Ruelle, fonctions zeta dynamiques). Le caractère chaotique de la dynamique classique devrait se traduire par des propriétés de ''délocalisation'' des ondes, et par un spectre ressemblant statistiquement à celui de grandes matrices aléatoires (modèle de Wigner). On tente pour comprendre cela de transposer les outils cités ci-dessus dans le cadre quantique, en utilisant l'arsenal de l'analyse microlocale. En parallèle, les "dynamiciens classiques" se sont récemment mis à utiliser des outils d'analyse semiclassique (calcul pseudodifférentiel, théorie de la diffusion) afin de mieux comprendre les propriétés des systèmes chaotiques classiques. Les deux communautés se trouvent donc à un point de convergence mutuellement enrichissant.
Entre ces deux extrêmes, une zoologie de dynamiques hamiltoniennes ''intermédiaires'' ouvrent un large champ d'investigation, dans lequel on peut citer les systèmes proches d'intégrables (KAM), les systèmes pseudo-intégrables ou faiblement chaotiques (billards polygonaux, éventuellement avec un potentiel de type ''Dirac''), dont l'étude est en plein essor. Les graphes ''quantiques'' ou les graphes discrets forment également un terrain propice à l'expérimentation de nouvelles idées.
Le lien entre dynamique classique et dynamique des ondes est un outil puissant en théorie du contrôle des ondes. L'étude des géométries sous-riemanniennes du point de vue de la correspondance classique/quantique vient seulement de débuter; ceci ouvre des perspectives vers la théorie du contrôle.
Les problèmes de dynamique chaotique, de diffusion quantique, de propagation dissipative (ondes amorties, équations de Fokker-Planck ou décrivant des systèmes d'oscillateurs couplés à de réservoirs), amènent naturellement vers l'étude d'opérateurs semiclassiques non autoadjoints. La théorie spectrale de tels opérateurs, notoirement plus compliquée que son pendant autoadjoint, rejoint les préoccupations des thématiques ''transport quantique'' et ''mécanique statistique hors équilibre''.